初中學業水平考試（The Academic Test for the Junior High School Students），簡稱“中考”，是檢驗初中在校生是否達到初中學業水平的考試；它是初中畢業證書發放的必要條件，考試科目將國家課程方案?， 以下是為大家整理的關于2020長沙中考數學試卷4篇 , 供大家參考選擇。

2020長沙中考數學試卷4篇

第1篇: 2020長沙中考數學試卷

2015年湖南省長沙市中考數學試卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）

1．下列實數中，為無理數的是（　　）

2．下列運算中，正確的是（　　）

A.x 3+x=x4 B. （x2）3=x6 C.3x﹣2x=1 D.（a﹣b）2=a2﹣b2

3．2014年，長沙地鐵2號線的開通運營，極大地緩解了城市中心的交通壓力，為我市再次獲評“中國最具幸福感城市”提供了有力支撐，據統計，長沙地鐵2號線每天承動力約為185000人次，則數據185000用科學記數法表示為（　　）

4．下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（　　）

A . B . C . D .　

5．下列命題中，為真命題的是（　　）

　　A． 六邊形的內角和為360度 B． 多邊形的外角和與邊數有關

　 C． 矩形的對角線互相垂直 D． 三角形兩邊的和大于第三邊

6．在數軸上表示不等式組的解集，正確的是（　　）

A . B . C . D .　

7．一家鞋店在一段時間內銷售了某種女鞋30雙，各種尺碼鞋的銷售量如下表所示，你認為商家更應該關注鞋子尺碼的（　　）

　 A． 平均數 B． 中位數 C． 眾數 D． 方差　

8．下列說法中正確的是（　　）

A .“打開電視機，正在播放《動物世界》”是必然事件

B .某種彩票的中獎概率為，說明每買1000張，一定有一張中獎

C .拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，出現正面朝上的概率為

.D． 想了解長沙市所有城鎮居民的人均年收入水平，宜采用抽樣調查　

9．一次函數y=﹣2x+1的圖象不經過（　　）

　A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

10．如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（　　）

　A. B . C . D .

11．如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為（　　）

A .米 B． 30sinα米 C． 30tanα米 D． 30cosα米

12．長沙紅星大市場某種高端品牌的家用電器，若按標價打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元，其利潤率為20%．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（　　）

　　A． 562.5元 B． 875元 C． 550元 D． 750元

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）

13．一個不透明的袋子中只裝有3個黑球，2個白球，這些球的形狀、大小、質地等完全相同，即除顏色外無其他差別．在看不到球的條件下，隨機從袋中摸出1個球，則摸出白球的概率是　　　　　　．

14．圓心角是60°且半徑為2的扇形面積為　　　　　　（結果保留π）．

15．把+進行化簡，得到的最簡結果是　　　　　　（結果保留根號）．

16．分式方程=的解是x=　　　　　　．

17．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，則BC的長是　　　　　　．

18．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于點D，則OD的長為　　　　　　．

三、解答題（共8小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，滿分66分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

19．計算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．

20．先化簡，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．

21．中華文明，源遠流長：中華漢字，寓意深廣，為了傳承優秀傳統文化，某校團委組織了一次全校3000名學生參加的“漢字聽寫”大賽，賽后發現所有參賽學生的成績均不低于50分．為了更好地了解本次大賽的成績分布情況，隨機抽取了其中200名學生的成績（成績x取整數，總分100分）作為樣本進行整理，得到下列不完整的統計圖表：

請根據所給信息，解答下列問題：

（1）a=　　　　　　，b=　　　　　　；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）這次比賽成績的中位數會落在　　　　　　分數段；

（4）若成績在90分以上（包括90分）的為“優”等，則該校參加這次比賽的3000名學生中成績“優”等約有多少人？

22．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）當α=30°時，求線段EF的長度．

23．現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同．

（1）求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率；

（2）如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業務員？

24．如圖，在直角坐標系中，⊙M經過原點O（0，0），點A（，0）與點B（0，﹣），點D在劣弧上，連接BD交x軸于點C，且∠COD=∠CBO．

（1）求⊙M的半徑；

（2）求證：BD平分∠ABO；

（3）在線段BD的延長線上找一點E，使得直線AE恰好為⊙M的切線，求此時點E的坐標．

25．在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”．

（1）求函數y=x+2的圖象上所有“中國結”的坐標；

（2）若函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”，試求出常數k的值與相應“中國結”的坐標；

（3）若二次函數y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，試問該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”？

26．若關于x的二次函數y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常數）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），與y軸交于點P，其圖象頂點為點M，點O為坐標原點．

（1）當x1=c=2，a=時，求x2與b的值；

（2）當x1=2c時，試問△ABM能否為等邊三角形？判斷并證明你的結論；

（3）當x1=mc（m＞0）時，記△MAB，△PAB的面積分別為S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題）

1．C

解析：因為0.2、93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png都是分數，－5是整數，它們都是有理數，只有d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png是帶有根號且開方開不盡的數的方根，是無理數，故答案為 C．

點評：本題考查了無理數的概念，解題的關鍵是掌握無理數的定義及初中階段無理數的類型．

2．B

解析：∵x3÷x＝x2，(x2)3＝x6，3x－2x＝x，(a－b)2＝a2－2ab＋b2， ab

∴ 只有(x2)3＝x6正確，故答案為B．

點評：本題考查了整式的運算法則，解題的關鍵是熟練地掌握合并同類項法則、冪的運算性質和乘法公式．

3．A

點評：本題考查了科學記數法，解題的關鍵是掌握求科學記數法的定義．

解析：∵185000的整數數位有6位，

∴a＝1.85，n＝6－1＝5．

故選A．

4．B

解析：選項A、C、D既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；只有選項B是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故選B．

點評：本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念．

5．D

解析：∵六邊形的內角和為(6－2)×180°＝720°；多邊形的外角和恒等于360°，與邊數無關；矩形的對角線相等，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形)圖形，也不∴A、B、C三個選項的命題是假命題，D選項的命題是真命題，故答案為D．

點評：本題考查了多邊形的內、外角和定理，三角形的三邊關系和矩形的性質，解題的關鍵是掌握多邊形的內、外角和公式和三角形三邊關系定理及矩形的性質．

6．A

解析：解不等式2＋x＞0得x＞－2；解不等式2x－6≤0得x≤3，故原不等式組的解集為－2＜x≤3，故答案為A．

點評：本題考查了解一元一次不等式組和利用數軸表示一元一次不等式組的解集，解題的關鍵是注意數形結合的正確應用．

7．C

解析：找到題目中這30個數據中出現次數最多的數據即為眾數，也是商家更應該關注鞋子尺碼的銷售量，故答案為C．

點評：本題考查了眾數的概念，解題的關鍵是正確掌握統計中的基本概念．

8．D

解析：∵“打開電視機，正在播放《動物世界》”是隨機事件；某種彩票的中獎率為b121622ffda0c8e7eade6b6d0a6185c1.png，說明在大量反復實驗中，每買1000張彩票，一定有一張中獎；拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，出現正面朝上的概率為93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png；想了解長沙市所有城鎮居民的人均年收入水平，因其工作量太大，宜采用抽樣調查，故答案為D．

點評：本題考查了抽樣調查、隨機事件、概率，注意正確理解相關概念的含義是解決本題的關鍵．

9．C

解析：由k＝－2＜0，圖像經過二、四象限，又b＝1，因此該一次函數的圖像交y軸于正半軸，從而得一次函數y＝－2x＋1的圖像經過第一、二、四象限，所以函數圖像不經過第三象限．故選擇C．

點評：本題考查了一次函數的圖像與性質，解題的關鍵是運用圖像或根據性質求解．

10．A

解析：因為過△ABC的頂點A，作BC邊上的高是指過點A作邊BC的垂線段，故答案為A．

點評：本題考查了鈍角三角形高的作法，解題的關鍵是正確地理解三角形的高的意義．

11．C

解析：在Rt△ABO中，tanα＝c399a41471e7d4ab533c9b4b3f3c5dc4.png，∴AO＝BO·tanα＝23e77c6be56a487956efabefd4351c82.png，故答案為C．

點評：本題考查了銳角三角函數的應用，解題的關鍵是理解正切的概念．

12．B

解析：設進價為x元，根據題意得20%x＝500，解得x＝2500，則標價為(2500＋500)÷0.8＝3750（元），按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為3750×0.9－2500＝875（元），故答案為B．

點評：本題考查了一元一次方程（組）的應用，解題的關鍵是正確地理解題意布列方程（組）題解形、D】．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png

解析：袋子里裝有5個球，其中有2個白球，摸出的球是白球的概率為add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png，故答案為add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png．

點評：本題考查了概率的計算．掌握概率的定義是解題的關鍵．

14．b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png

解析：∵n＝60，R＝2，

∴S扇形＝36d27bb065118fa1c9a53c525ee61fa8.png＝b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png．

故答案為b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png．

點評：本題考查了扇形面積的計算，解題的關鍵是能熟練的運用扇形面積的計算公式．

15．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png

解析：原式＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＝2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，故答案為44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png．

點評：本題考查了二次根式的化簡與加減運算，解題的關鍵是化簡二次根式．

16．x＝－5

解析：方程兩邊都乘以x(x－2)，得5(x－2)＝7x，解得x＝－5，經檢驗，x＝－5是原方程的根，故答案為x＝－5．

點評：本題考查了分式方程的解法，掌握分式方程兩邊都乘最簡公分母，將分母去掉，是正確解答的前提條件．

17．18

解析：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∴5c248f13e59f4d2fb760954aaf9aa32c.png．

∴BC＝3DE＝18．

故答案為18．

點評：本題考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．

18．4

解析：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∵BC＝6，AB＝10，

∴AC＝b0c0992028000b9e9fb9a9c66066eac0.png＝8．

∵OD⊥BC于點D，

∴DB＝DC．

又∵OA＝OB，

∴OD＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAC＝4．

故答案為4．

點評：本題考查了圓的相關性質及勾股定理與三角形中位線定理，解題的關鍵是能正確地利用圓周角定理、垂徑定理、勾股定理與三角形中位線定理．

三、解答題（本大題共8個小題）

19．解析：根據相關運算法則與性質，先把各項初步進行計算與化簡，最后把所得的各個結果相加減．

解：原式＝2＋4×93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png－3＋3

＝2＋2－3＋3

＝4．

點評：本題考查了負整數指數冪、絕對值、特殊角的三角函數值、二次根式的化簡，解題的關鍵是熟記各運算法則與性質，以及幾個特殊角的三角函數值．

20．解析：先利用平方差公式和單項式與多項式乘法法則化簡、合并同類項，再代入數值進行計算．

解：當x＝(3－π)0＝1，y＝2時，

原式＝x2－y2－x2－xy＋2xy

＝－y2＋xy

＝－22＋1×2

＝－4＋2

＝－2．

點評：本題考查了代數式的化簡求值，解題的關鍵是熟練地掌握整式的乘法法則與乘法公式．21．解析：（1）a＝200×0.3＝60；b＝30÷200＝0.15，；（2）根據第四組的頻數a＝60，補全頻數分布直方圖；（3）根據“中位數應該是最中間的兩個數的平均數”可得解；（4）利用樣本中測試成績90分以上（含90分）所占百分比×3000＝全校學生中成績“優”等人數求解.

解：（1）∵b＝30÷200＝0.15，a＝200×0.3＝60，

∴填60、0.15．

（2）如下圖：

word/media/image56_1.png

（3）∵樣本容量為200，這200個數據按從小到大的順序排列后最中間的兩數為第100個和第101個數據的平均數，而前三組數據之和為60，第四組數據有60個，最中間兩個數應落在第四組，其平均數也在該組，

∴填80≤x＜90．

（4）∵3000×0.4＝1200（人），

∴該校參加這次比賽的3000名學生中成績“優”等的大約有1200人．

點評：本題綜合考查了頻數分布表，頻數分布直方圖，中位數，用樣本去估算總體，解題的關鍵是樣本容量＝頻數÷頻率，頻數分布表與頻數分布直方圖之間的聯系，以及對圖中數據的處理能力．

22．解析：（1）由菱形的性質可得OA＝OC，AD∥BC；再利用平行線的性質得到∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC；最后利用“角角邊”即可判斷△AOE≌△COF．（2）由AB＝AC＝2，∠ABC＝60°得△ABC是等邊三角形，從而∠OAE＝∠ACB＝60°，進而由旋轉角為30°得到EF⊥BC．最后由三角函數得到OF＝OCsin60°＝1×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，從而EF＝2OF＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png．

解：

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，AD∥BC．

∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC．

∴△AOE≌△COF（AAS）．

（2）∵AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形．

∴∠OAE＝∠ACB＝60°．

又∵7b89734eed952d37d8e71c14e5a3df48.png＝∠AOE，

∴EF⊥BC．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC＝1．

在Rt△OCF中，由sin∠OCF＝f0c1837cb237f5b8308fd2268cad921e.png，得OF＝OCsin60°＝1×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png．

∵△AOE≌△COF，

∴OE＝OF．

∴EF＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png．

點評：本題考查了全等三角形的判定、旋轉的性質、菱形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些判定定理及性質定理．

23．解析：（1）根據三月份與五月份完成投遞的快遞總件數之間的關系列方程，并解方程，舍去不合題意的解，即可得到答案；（2）先算出6月份的快遞投遞任務的總件數，再判斷該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務，然后列不等式進行求解．

解：（1）設該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率為x，由題意得10(1＋x)2＝12.1，

(1＋x)2＝1.21，

1＋x＝±1.1，

x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1（不合題意，舍去）．

答：該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率為10%．

（2）∵0.6×21＝12.6＜12.1×1.1＝13.31，

∴該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務．

設需要增加y名業務員，根據題意，得0.6(y＋21)≥13.31，解得y≥1.183，

∵y為整數，

∴y≥2．

答：至少需要增加2名業務員．

點評：本題考查了利用一元二次方程及不等式解決實際問題，確定等量關系或不等關系是解題關鍵．

24.解析：（1）先由勾股定理求出AB的長，再由90°的圓周角所對于弦為直徑，求出⊙M的半徑．

（2）利用同弧所對圓周角相等，得∠ABD＝∠AOD，再由已知條件COD＝∠CBO，即可得到BD平分∠ABO．

（3）方法一：在Rt△AOB中，由OA、OB的長利用三角函數得∠OBA＝60°，從而∠OBC＝30°，進而求出OC的長，得從而C（7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，0）；然后求出直線BE、AB、AE的解析式，最后將直線BE、AE的解析式聯立成方程組，即可求得點E的坐標．

方法二：過點A作AE⊥AB交直線BC于點E，過點E作EP⊥OA于P點，則點E即為所求，然后在兩個含有30°的直角三角形ABE、APE中，分別求同AE、AP、EP的長，亦可求得點E的坐標．

方法三：利用△BOC≌△EPC，故PE＝OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，OC＝CP＝7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，OP＝334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，因此E(334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)．

解：（1）∵cb0b5ea1d0527e3027ad686bfb8b9dff.png，05d5e86d999be5a2b751c1842a581856.png，∴OA＝65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png，OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．

在Rt△AOB中，由勾股定理得，e8eb58fe704b675c6b161bdaffdd6fe0.png．

∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直徑．

∴⊙M的半徑6e8b050fd82afb6524593d2c7b1eeaeb.png．

（2）在⊙M中，∠ABD＝∠AOD（同弧所對圓周角相等），

又∵∠COD＝∠CBO，∴∠ABD＝∠CBO．

∴BD平分∠ABO．

（3）在Rt△AOB中，

∵e2d051b468a8c3669a198485a5c4209e.png，∴∠OBA＝60°．

∵BD平分∠ABO，

∴∠OBC＝30°．

∴OC＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.pngOB＝7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，從而C（7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，0）．

設直線BC的解析式為y＝k1x－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，則7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.pngk1－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＝0，解得k1＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，

∴BC的解析式為y＝91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．

易求直線AB的解析式為y＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.pngx－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，過點A作AE⊥AB交直線BC于點E，則點E即為所求，此時設直線AE的解析式為y＝－91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx＋b1，則－91a24814efa2661939c57367281c819c.png×65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png＋b1＝0，解得b1＝3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，從而直線AE的解析式為y＝－91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx＋3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．

由782c6930fcf72b96cc43a997696bfe3a.png解得d4d1a8780c6d9f50f21c11c8ef5e43f5.png，

∴E(334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)．

點評：本題考查了圓周角定理、切線的性質與判定、勾股定理、一次函數等知識，解題的關鍵是能正確地從圖形中找到隱含條件，合理利用勾股定理或全等三角形或一次函數知識進行求解．

25．解析：（1）利用“中國結”系點的橫、縱坐標皆為整數的點的特征，將x取0、非0整數代入直線對應的解析式，若縱坐標亦為整數，則該點即可所求．

（2）根據反比例函數bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png為常數）的k值等于其圖像上點的橫、縱坐標的乘積的特點易知，當函數bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png為常數）的圖像上有且只有兩個“中國結”，k＝±1，進而求出此時該函數圖像上的“中國結”．

（3）求該拋物線與x軸的交點坐標，再由這兩點橫坐標皆為整數確定k的值，從而得到二次函數的解析式，通過畫出該函數圖像的草圖，由數形結合思想來確定該函數的圖像與軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”即可．

解：

（1）當x＝0時，y＝2，故點(0，2) 系“中國結”；

當x＝n（n為不等于0的整數）時，y＝91a24814efa2661939c57367281c819c.pngn＋2是無理數，故點(n，91a24814efa2661939c57367281c819c.pngn＋2) 都不是“中國結”，

∴函數2e1cf9fc246bcb53fd16e62683fa8dde.png的圖像上所有“中國結”的坐標為(0，2)．

（2）∵函數bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png為常數）的圖像上有且只有兩個“中國結”，

∴k＝±1．

∴當k＝1時，該雙曲線上的“中國結”為(1，1)、(－1，－1)；當k＝－1時，該雙曲線上的“中國結”為(1，－1)、(－1，1)．

（3）令y＝0，得(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，解得

5b3708612c422e2e08db68623a8a1108.png，c2802bf893bddcff363b986e7b7f5abb.png．

∵x1、x2都是整數，

∴k＝bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png，此時，x1＝－3，x2＝1，此拋物線的解析式為y＝9f47951d1415106b7be5d9f727011bc8.png．

該函數的圖像如下，由圖可知，函數的圖像與軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結”： (－3，0)、(－2，0)、(－1，0)、(0，0)、(1，0)、(－1，1)（即答圖2中的點A、B、C、D、E、O共6個點）．

word/media/image89.gif

點評：本題綜合考查了初中數學中三類函數知識及一元二次方程知識，解題的關鍵是閱讀理解新定問題，利用數形結合思想進行解答．

26. 解析：（1）將x1＝c＝2，a＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png代入二次函數解析式與點A，再利用待定系數法確定二次函數的解析式，從而求出b的值；令y＝0，得到相應的一元二次方程，求解即可得到x2的值．

（2）將x1＝2c代入點A，并將點A的坐標代入二次函數解析式，探求a、b、c之間的數量關系：4ac＋2b＋1＝0即4ac＝－2b－1．然后令y＝0，得ax2＋bx＋c＝0，求出A、B兩點坐標，容易發現在此條件下，A、B兩點重合，△ABM不存在，也就根本不能組成等邊三角形．

（3）從△PBO∽△PAO入手，探求OB＝914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，從而B (914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，0)，再由一元二次方程的根與系數的關系，得mc＋914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝－7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png， mc×914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png，解得a＝552c7d949b3ccad7bd7f1ad58ed7290f.png，b＝－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png．最后由△MAB，△PAB的面積分別為S1，S2，且S1＝S2，得581ac37870fdb69ca2cfbcdb17733141.png，即c＝－33be23f266b55151e721592541c15f43.png，從而b2＝8ac＝8，也就是(－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png)2＝8，即可得到參數m的值．

解：

（1）∵當x1＝c＝2，a＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png時，拋物線y＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2＋bx＋2過點A(2，0)，

∴7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png×22＋2b＋2＝0，解得b＝－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png．

∴y＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.pngx＋2．

令y＝0，得7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.pngx＋2＝0，解得x1＝2，x2＝3．

∴x2與b的值分別為3、－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png．

（2）當x1＝2c時，△ABM不能為等邊三角形，理由如下：

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(2c，0)，

∴4ac2＋2bc＋c＝0．

∵c＞0，∴4ac＋2b＋1＝0即4ac＝－2b－1．

令y＝0，得ax2＋bx＋c＝0，

解得x＝1863543eb16757f43db5888922bc85ee.png＝6a1c47d778c57774bb96c57b4b484182.png＝5c3e69fc879168cd3b8d534c8853eae1.png，

∴x1＝37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png，x2＝2e426c517105de1222eaf8245d80a145.png．

又∵x1＝2c，

∴37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png＝2c，即4ac＝1，從而－2b－1＝1，解得b＝－1，此時，x2＝37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png．

∴A、B兩點重合，△ABM不存在．

∴當x1＝2c時，△ABM不能為等邊三角形．

（3）∵△PBO∽△PAO，

∴01b925ca69db1726f8a406abe8b4cda5.png，從而OP2＝OA×OB，即c2＝mc×OB．

∴OB＝914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，從而B (914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，0)．

∴mc、914955617b159921a1e8701034eb6c09.png是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個不相等的根．

由韋達定理，得mc＋914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝－7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png， mc×914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png，

解得a＝552c7d949b3ccad7bd7f1ad58ed7290f.png，b＝－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png．

∵△MAB，△PAB的面積分別為S1，S2，且S1＝S2，

∴581ac37870fdb69ca2cfbcdb17733141.png，即c＝－33be23f266b55151e721592541c15f43.png，從而b2＝8ac＝8．

∴(－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png)2＝8，解得m1＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m2＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1，m3＝－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m4＝－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1（負值舍去）．

經檢驗，m1＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m2＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1都是方程的解．

綜上，m的值為d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png±1．

點評：本題綜合考查了待定系數法、一元二次方程、等邊三角形、相似形等知識，解題的關鍵是從已知條件入手利用數形結合思想，探索結論的正確與否及所求參數的值．

第2篇: 2020長沙中考數學試卷

注意事項：

2018 年長沙市初中學業水平考試試卷

數學

第3篇: 2020長沙中考數學試卷

2019年湖南省長沙市中考數學試卷

一、選擇題（本題共12小題，每題3分，共36分）

1．（3分）下列各數中，比﹣3小的數是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1

2．（3分）根據《長沙市電網供電能力提升三年行動計劃》，明確到2020年，長沙電網建設改造投資規模達到150********元，確保安全供用電需求．數據150********用科學記數法表示為（　　）

A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011

3．（3分）下列計算正確的是（　　）

A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6

C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2

4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．購買一張彩票，中獎

B．射擊運動員射擊一次，命中靶心

C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D．任意畫一個三角形，其內角和是180°

5．（3分）如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1＝80°，則∠2的度數是（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°

6．（3分）某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（　　）

A． B．

C． D．

7．（3分）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學的成績各不相同，按照成績取前5名進入決賽．如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的（　　）

A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差

8．（3分）一個扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是（　　）

A．2π B．4π C．12π D．24π

9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數是（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°

10．（3分）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（　　）

A．30nmile B．60nmile

C．120nmile D．（30+30）nmile

11．（3分）《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（　　）

A． B．

C． D．

12．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．（3分）式子在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是　 　．

14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　 　．

15．（3分）不等式組的解集是　 　．

16．（3分）在一個不透明的袋子中有若干個小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復上述過程．以下是利用計算機模擬的摸球試驗統計表：

摸球實驗次數

100

1000

5000

10000

50000

100000

“摸出黑球”的次數

36

387

2019

4009

19970

40008

“摸出黑球”的頻率（結果保留小數點后三位）

0.360

0.387

0.404

0.401

0.399

0.400

根據試驗所得數據，估計“摸出黑球”的概率是　 　．（結果保留小數點后一位）

17．（3分）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE＝50m，則AB的長是　 　m．

18．（3分）如圖，函數y＝（k為常數，k＞0）的圖象與過原點的O的直線相交于A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸于點E，F．現有以下四個結論：

①△ODM與△OCA的面積相等；②若BM⊥AM于點M，則∠MBA＝30°；③若M點的橫坐標為1，△OAM為等邊三角形，則k＝2+；④若MF＝MB，則MD＝2MA．

其中正確的結論的序號是　 　．（只填序號）

三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或驗算步驟）

19．（6分）計算：|﹣|+（）﹣1﹣÷﹣2cos60°．

20．（6分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．

21．（8分）某學校開展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時尚”的宣傳活動．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，該校環保社團成員在校園內隨機抽取了部分學生進行問卷調查，將他們的得分按優秀、良好、合格、待合格四個等級進行統計，并繪制了如下不完整的統計表和條形統計圖．

等級

頻數

頻率

優秀

21

42%

良好

m

40%

合格

6

n%

待合格

3

6%

（1）本次調查隨機抽取了　 　名學生；表中m＝　 　，n＝　 　；

（2）補全條形統計圖；

（3）若全校有2000名學生，請你估計該校掌握垃圾分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有多少人．

22．（8分）如圖，正方形ABCD，點E，F分別在AD，CD上，且DE＝CF，AF與BE相交于點G．

（1）求證：BE＝AF；

（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的長．

23．（9分）近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．

（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；

（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？

24．（9分）根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對應邊的比叫做相似比．

（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（　 　命題）

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（　 　命題）

③兩個大小不同的正方形相似．（　 　命題）

（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．

（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，過點O作EF∥AB分別交AD，BC于點E，F．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFCD的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．

25．（10分）已知拋物線y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c為常數）．

（1）若拋物線的頂點坐標為（1，1），求b，c的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求c的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實數m，n（m＜n），當m≤x≤n時，恰好≤≤，求m，n的值．

26．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+6ax（a為常數，a＞0）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D的坐標為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接BD并延長與過O，A，B三點的⊙P相交于點C．

（1）求點A的坐標；

（2）過點C作⊙P的切線CE交x軸于點E．

①如圖1，求證：CE＝DE；

②如圖2，連接AC，BE，BO，當a＝，∠CAE＝∠OBE時，求﹣的值．

2019年湖南省長沙市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12小題，每題3分，共36分）

1．（3分）下列各數中，比﹣3小的數是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．

【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，

所以比﹣3小的數是﹣5，

故選：A．

【點評】此題主要考查了有理數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小．

2．（3分）根據《長沙市電網供電能力提升三年行動計劃》，明確到2020年，長沙電網建設改造投資規模達到150********元，確保安全供用電需求．數據150********用科學記數法表示為（　　）

A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：數據150 **** ****用科學記數法表示為1.5×1010．

故選：C．

【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．（3分）下列計算正確的是（　　）

A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6

C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2

【分析】分別根據合并同類項的法則、同底數冪的除法法則、冪的乘方法則以及完全平方公式解答即可．

【解答】解：A、3a與2b不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；

B、（a3）2＝a6，故選項B符合題意；

C、a6÷a3＝a3，故選項C不符合題意；

D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項D不合題意．

故選：B．

【點評】本題主要考查了冪的運算性質、合并同類項的法則以及完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．

4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．購買一張彩票，中獎

B．射擊運動員射擊一次，命中靶心

C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D．任意畫一個三角形，其內角和是180°

【分析】先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．

【解答】解：A．購買一張彩票中獎，屬于隨機事件，不合題意；

B．射擊運動員射擊一次，命中靶心，屬于隨機事件，不合題意；

C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，屬于隨機事件，不合題意；

D．任意畫一個三角形，其內角和是180°，屬于必然事件，符合題意；

故選：D．

【點評】本題主要考查了必然事件，事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件．

5．（3分）如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1＝80°，則∠2的度數是（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°

【分析】直接利用鄰補角的定義結合平行線的性質得出答案．

【解答】解：∵∠1＝80°，

∴∠3＝100°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠3＝100°．

故選：C．

【點評】此題主要考查了平行線的性質以及鄰補角的定義，正確掌握平行線的性質是解題關鍵．

6．（3分）某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根據幾何體的三視圖判斷即可．

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為圓錐．

故選：D．

【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是具有較強的空間想象能力，難度不大．

7．（3分）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學的成績各不相同，按照成績取前5名進入決賽．如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的（　　）

A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差

【分析】由于比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，根據中位數的意義分析即可．

【解答】解：11個不同的成績按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有5個數，

故只要知道自己的成績和中位數就可以知道是否進入決賽了．

故選：B．

【點評】本題考查了中位數意義．解題的關鍵是正確的求出這組數據的中位數．

8．（3分）一個扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是（　　）

A．2π B．4π C．12π D．24π

【分析】根據扇形的面積公式S＝計算即可．

【解答】解：S＝＝12π，

故選：C．

【點評】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式S＝是解題的關鍵．

9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數是（　　）

A．20° B．30° C．45° D．60°

【分析】根據內角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂線性質知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，從而得出答案．

【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，

由作圖可知MN為AB的中垂線，

∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，

故選：B．

【點評】本題主要考查作圖﹣基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質是解題的關鍵．

10．（3分）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（　　）

A．30nmile B．60nmile

C．120nmile D．（30+30）nmile

【分析】過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．

【解答】解：過C作CD⊥AB于D點，

∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．

在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，

∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．

在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，

∴CD＝BD＝30，

∴AB＝AD+BD＝30+30．

答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．

故選：D．

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．

11．（3分）《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根據題意可以列出相應的方程組，本題得以解決．

【解答】解：由題意可得，

，

故選：A．

【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．

12．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10

【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．

【解答】解：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠ABE＝90°，

∵tanA＝＝2，設AE＝a，BE＝2a，

則有：100＝a2+4a2，

∴a2＝20，

∴a＝2或﹣2（舍棄），

∴BE＝2a＝4，

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，

∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，

∴sin∠DBH＝＝＝，

∴DH＝BD，

∴CD+BD＝CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值為4．

故選：B．

【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．（3分）式子在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是　x≥5　．

【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而得出答案．

【解答】解：式子在實數范圍內有意義，則x﹣5≥0，

故實數x的取值范圍是：x≥5．

故答案為：x≥5．

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關定義是解題關鍵．

14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　a（m+3）（m﹣3）　．

【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．

【解答】解：am2﹣9a

＝a（m2﹣9）

＝a（m+3）（m﹣3）．

故答案為：a（m+3）（m﹣3）．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

15．（3分）不等式組的解集是　﹣1≤x＜2　．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大小小大中間找，確定不等式組的解集．

【解答】解：

解不等式①得：x≥﹣1，

解不等式②得：x＜2，

∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜2，

故答案為：﹣1≤x＜2．

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

16．（3分）在一個不透明的袋子中有若干個小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復上述過程．以下是利用計算機模擬的摸球試驗統計表：

摸球實驗次數

100

1000

5000

10000

50000

100000

“摸出黑球”的次數

36

387

2019

4009

19970

40008

“摸出黑球”的頻率（結果保留小數點后三位）

0.360

0.387

0.404

0.401

0.399

0.400

根據試驗所得數據，估計“摸出黑球”的概率是　0.4　．（結果保留小數點后一位）

【分析】大量重復試驗下摸球的頻率可以估計摸球的概率，據此求解；

【解答】觀察表格發現隨著摸球次數的增多頻率逐漸穩定在0.4附近，

故摸到白球的頻率估計值為0.4；

故答案為：0.4．

【點評】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中某個事件發生的頻率能估計概率．

17．（3分）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE＝50m，則AB的長是　100　m．

【分析】先判斷出DE是△ABC的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB＝2DE，問題得解．

【解答】解：∵點D，E分別是AC，BC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴AB＝2DE＝2×50＝100米．

故答案為：100．

【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵．

18．（3分）如圖，函數y＝（k為常數，k＞0）的圖象與過原點的O的直線相交于A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸于點E，F．現有以下四個結論：

①△ODM與△OCA的面積相等；②若BM⊥AM于點M，則∠MBA＝30°；③若M點的橫坐標為1，△OAM為等邊三角形，則k＝2+；④若MF＝MB，則MD＝2MA．

其中正確的結論的序號是　①③④　．（只填序號）

【分析】①設點A（m，），M（n，），構建一次函數求出C，D坐標，利用三角形的面積公式計算即可判斷．

②△OMA不一定是等邊三角形，故結論不一定成立．

③設M（1，k），由△OAM為等邊三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根據OM＝AM，構建方程求出k即可判斷．

④如圖，作MK∥OD交OA于K．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．

【解答】解：①設點A（m，），M（n，），

則直線AC的解析式為y＝﹣x++，

∴C（m+n，0），D（0，），

∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，

∴△ODM與△OCA的面積相等，故①正確；

∵反比例函數與正比例函數關于原點對稱，

∴O是AB的中點，

∵BM⊥AM，

∴OM＝OA，

∴k＝mn，

∴A（m，n），M（n，m），

∴AM＝（n﹣m），OM＝，

∴AM不一定等于OM，

∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②錯誤，

∵M點的橫坐標為1，

∴可以假設M（1，k），

∵△OAM為等邊三角形，

∴OA＝OM＝AM，

1+k2＝m2+，

∴m＝k，

∵OM＝AM，

∴（1﹣m）2+＝1+k2，

∴k2﹣4k+1＝0，

∴k＝2，

∵m＞1，

∴k＝2+，故③正確，

如圖，作MK∥OD交OA于K．

∵OF∥MK，

∴＝＝，

∴＝，

∵OA＝OB，

∴＝，

∴＝，

∵KM∥OD，

∴＝＝2，

∴DM＝2AM，故④正確．

故答案為①③④．

【點評】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會構造平行線，利用平行線分線段成比例定理解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或驗算步驟）

19．（6分）計算：|﹣|+（）﹣1﹣÷﹣2cos60°．

【分析】根據絕對值的意義、二次根式的除法法則、負整數指數冪的意義和特殊角的三角函數值進行計算．

【解答】解：原式＝+2﹣﹣2×

＝+2﹣﹣1

＝1．

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．

20．（6分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．

【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再將a的值代入進行計算即可．

【解答】解：原式＝?

＝，

當a＝3時，原式＝＝．

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．

21．（8分）某學校開展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時尚”的宣傳活動．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，該校環保社團成員在校園內隨機抽取了部分學生進行問卷調查，將他們的得分按優秀、良好、合格、待合格四個等級進行統計，并繪制了如下不完整的統計表和條形統計圖．

等級

頻數

頻率

優秀

21

42%

良好

m

40%

合格

6

n%

待合格

3

6%

（1）本次調查隨機抽取了　50　名學生；表中m＝　20　，n＝　12　；

（2）補全條形統計圖；

（3）若全校有2000名學生，請你估計該校掌握垃圾分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有多少人．

【分析】（1）用優秀的人數除以優秀的人數所占的百分比即可得到總人數；

（2）根據題意補全條形統計圖即可得到結果；

（3）全校2000名乘以“優秀”和“良好”等級的學生數所占的百分比即可得到結論．

【解答】解：（1）本次調查隨機抽取了21÷42%＝50名學生，m＝50×40%＝20，n＝×100＝12，

故答案為：50，20，12；

（2）補全條形統計圖如圖所示；

（3）2000×＝1640人，

答：該校掌握垃圾分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有1640人．

【點評】本題考查的是條形統計圖，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．

22．（8分）如圖，正方形ABCD，點E，F分別在AD，CD上，且DE＝CF，AF與BE相交于點G．

（1）求證：BE＝AF；

（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的長．

【分析】（1）由正方形的性質得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS證明△BAE≌△ADF，即可得出結論；

（2）由全等三角形的性質得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面積即可得出結果．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，

∵DE＝CF，

∴AE＝DF，

在△BAE和△ADF中，，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF；

（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，

∴∠EBA＝∠FAD，

∴∠GAE+∠AEG＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∵AB＝4，DE＝1，

∴AE＝3，

∴BE＝＝＝5，

在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，

∴AG＝＝．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質、勾股定理以及三角形面積公式；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．

23．（9分）近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．

（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；

（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？

【分析】（1）設增長率為x，根據“第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次”可列方程求解；

（2）用2.42×（1+增長率），計算即可求解．

【解答】解：（1）設增長率為x，根據題意，得

2（1+x）2＝2.42，

解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．

答：增長率為10%．

（2）2.42（1+0.1）＝2.662（萬人）．

答：第四批公益課受益學生將達到2.662萬人次．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．

24．（9分）根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對應邊的比叫做相似比．

（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．

①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（　假　命題）

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（　假　命題）

③兩個大小不同的正方形相似．（　真　命題）

（2）如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．

（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，過點O作EF∥AB分別交AD，BC于點E，F．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFCD的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．

【分析】（1）根據相似多邊形的定義即可判斷．

（2）根據相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個角相等即可．

（3）四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，證明相似比是1即可解決問題，即證明DE＝AE即可．

【解答】（1）解：①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等．

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例．

③兩個大小不同的正方形相似．是真命題．

故答案為假，假，真．

（2）證明：如圖1中，連接BD，B1D1．

∵∠BCD＝∠B1C1D1，且＝，

∴△BCD∽△B1C1D1，

∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，

∵＝＝，

∴＝，

∵∠ABC＝∠A1B1C1，

∴∠ABD＝∠A1B1D1，

∴△ABD∽△A1B1D1，

∴＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，

∴，＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．

（3）如圖2中，

∵四邊形ABCD與四邊形EFCD相似．

∴＝，

∵EF＝OE+OF，

∴＝，

∵EF∥AB∥CD，

∴＝，＝＝，

∴+＝+，

∴＝，

∵AD＝DE+AE，

∴＝，

∴2AE＝DE+AE，

∴AE＝DE，

∴＝1．

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，相似多邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

25．（10分）已知拋物線y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c為常數）．

（1）若拋物線的頂點坐標為（1，1），求b，c的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求c的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實數m，n（m＜n），當m≤x≤n時，恰好≤≤，求m，n的值．

【分析】（1）利用拋物線的頂點坐標和二次函數解析式y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1，易得b、c的值；

（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入函數解析式，經過化簡得到c＝2x02+2020，易得c≥2020；

（3）由題意知，拋物線為y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，則y≤1．利用不等式的性質推知：，易得1≤m＜n．由二次函數圖象的性質得到：當x＝m時，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．當x＝n時，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．所以＝﹣2m2+4m﹣1，＝﹣2n2+4n﹣1通過解方程求得m、n的值．

【解答】解：（1）由題可知，拋物線解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．

∴．

∴b＝6，c＝2019．

（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），

代入解析式可得：．

∴兩式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．

∴c＝2x02+2020，

∴c≥2020；

（3）由（1）可知拋物線為y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．

∴y≤1．

∵0＜m＜n，當m≤x≤n時，恰好≤≤，

∴≤．

∴．

∴≤1，即m≥1．

∴1≤m＜n．

∵拋物線的對稱軸是x＝1，且開口向下，

∴當m≤x≤n時，y隨x的增大而減小．

∴當x＝m時，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．

當x＝n時，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．

又，

∴．

將①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，

變形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．

∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．

∵n＞1，

∴2n2﹣2n﹣1＝0．

解得n1＝（舍去），n2＝．

同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．

∵1≤m＜n，

∴2m2﹣2m﹣1＝0．

解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．

綜上所述，m＝1，n＝．

【點評】主要考查了二次函數綜合題，解答該題時，需要熟悉二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象的對稱性，二次函數圖象的增減性，二次函數最值的意義以及一元二次方程的解法．該題計算量比較大，需要細心解答．難度較大．

26．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+6ax（a為常數，a＞0）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D的坐標為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接BD并延長與過O，A，B三點的⊙P相交于點C．

（1）求點A的坐標；

（2）過點C作⊙P的切線CE交x軸于點E．

①如圖1，求證：CE＝DE；

②如圖2，連接AC，BE，BO，當a＝，∠CAE＝∠OBE時，求﹣的值．

【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，則A點坐標可求出；

（2）①連接PC，連接PB延長交x軸于點M，由切線的性質可證得∠ECD＝∠COE，則CE＝DE；

②設OE＝m，由CE2＝OE?AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，則，綜合整理代入可求出的值．

【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，

ax（x+6）＝0，

∴A（﹣6，0）；

（2）①證明：如圖，連接PC，連接PB延長交x軸于點M，

∵⊙P過O、A、B三點，B為頂點，

∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，

又∵PC＝PB，

∴∠PCB＝∠PBC，

∵CE為切線，

∴∠PCB+∠ECD＝90°，

又∵∠BDP＝∠CDE，

∴∠ECD＝∠COE，

∴CE＝DE．

②解：設OE＝m，即E（m，0），

由切割線定理得：CE2＝OE?AE，

∴（m﹣t）2＝m?（m+6），

∴①，

∵∠CAE＝∠CBD，

∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，

由角平分線定理：，

即：，

∴②，

由①②得，

整理得：t2+18t+36＝0，

∴t2＝﹣18t﹣36，

∴．

【點評】本題是二次函數與圓的綜合問題，涉及二次函數圖象與x軸的交點坐標、切線的性質、等腰三角形的判定、切割線定理等知識．把圓的知識鑲嵌其中，會靈活運用圓的性質進行計算是解題的關鍵．

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日期：2019/7/1 7:46:04；用戶：柯瑞；郵箱：ainixiaoke00@163.com；學號：500557

7、我們各種習氣中再沒有一種象克服驕傲那麼難的了。雖極力藏匿它，克服它，消滅它，但無論如何，它在不知不覺之間，仍舊顯露。——富蘭克林

　　8、女人固然是脆弱的，母親卻是堅強的。——法國

　　9、慈母的胳膊是慈愛構成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果

　　10、母愛是多么強烈、自私、狂熱地占據我們整個心靈的感情。——鄧肯

　　11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母親才是真的，永恒的，不滅的。——印度

第4篇: 2020長沙中考數學試卷

2018年長沙市初中學業水平考試卷

數學

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.（2018湖南長沙，1題，3分）-2的相反數是（ ）

A.-2 B. C.2 D.

【答案】C

2.（2018湖南長沙，2題，3分）據統計，2017年長沙市地區生產總值約為10200億元，經濟總量邁入“萬億俱樂部”，數據10200用科學記數法表示為（ ）

A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×103

【答案】C

3.（2018湖南長沙，3題，3分）下列計算正確的是（ ）

Aa2+a3=a5 B. C.(x2)3=x5 D.m5÷m3=m2

【答案】D

4.（2018湖南長沙，4題，3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）

A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm

【答案】B

5.（2018湖南長沙，5題，3分）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）

【答案】A

6.（2018湖南長沙，6題，3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（ ）

【答案】C

7.（2018湖南長沙，7題，3分）將下列左側的平面圖形繞軸l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（ ）

【答案】D

8.（2018湖南長沙，8題，3分）下列說法正確的是（ ）

A.任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預報說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時間都在降雨

C.“籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機事件

D.“a是實數，|a|≥0”是不可能事件

【答案】C

9.（2018湖南長沙，9題，3分）估計的值（ ）

A.在2和3之間 B.在3和4之間 C.在4和5之間 D.在5和6之間

【答案】C

【解析】因為9 推薦訪問： 長沙 中考 集合