數(shù)值分析 課程設(shè)計報告 學(xué)生姓名

　學(xué)生學(xué)號

　所在班級

　指導(dǎo)教師

　一、課程設(shè)計名稱 函數(shù)逼近與曲線擬合 二、課程設(shè)計目的及要求 實驗?zāi)康? ⑴學(xué)會用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式,并應(yīng)用算法于實際問題。

　⑵學(xué)會基本的矩陣運算,注意點乘與叉乘的區(qū)別。

　實驗要求: ⑴編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式,并求平方誤差,做出離散函數(shù) 與擬合函數(shù)的圖形; ⑵用 MATLAB 的內(nèi)部函數(shù) polyfit 求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差,并用MATLAB的內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形,并與(1)結(jié)果進(jìn)行比較。

　三、課程設(shè)計中的算法描述 用最小二乘法多項式曲線擬合,根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點,并不要求這條曲線精確的經(jīng)過這些點,而就是擬合曲線無限逼近離散點所形成的數(shù)據(jù)曲線。

　思 路 分 析 : 從 整 體 上 考 慮 近 似 函 數(shù) ) (x p 同 所 給 數(shù) 據(jù) 點 ）

　（i iy x , 誤 差i i iy x p r ? ? ) ( 的大小,常用的方法有三種:一就是誤差i i iy x p r ? ? ) ( 絕對值的最大值im ir? ? 0max ,即誤差向量的無窮范數(shù);二就是誤差絕對值的與 ??miir0,即誤差向量的 1成績評定

　范數(shù);三就是誤差平方與 ??miir02的算術(shù)平方根,即類似于誤差向量的 2 范數(shù)。前兩種方法簡單、自然,但不便于微分運算,后一種方法相當(dāng)于考慮 2 范數(shù)的平方,此次采用第三種誤差分析方案。

　算法的具體推導(dǎo)過程: 1、設(shè)擬合多項式為:

　2、給點到這條曲線的距離之與,即偏差平方與:

　3、為了求得到符合條件的 a 的值,對等式右邊求 偏導(dǎo)數(shù),因而我們得到了:

　 4、將等式左邊進(jìn)行一次簡化,然后應(yīng)該可以得到下面的等式

　5、把這些等式表示成矩陣的形式,就可以得到下面的矩陣:

　????????????????????????????????????????????????????????? ? ?? ? ?? ????? ?????? ?? ?niininiiknikinikinikinikiniiniinikiniiyyyaax x xx x xx x11i11012111111211 1an???? ? ? ??? 6. 將這個范德蒙得矩陣化簡后得到 ???????????????????????????????????????n kkn nkkyyyaaax xx xx x? ??? ? ? ???21102 21 1111 7、因為 Y A X ? * ,那么 X Y A / ? ,計算得到系數(shù)矩陣,同時就得到了擬合曲線。

　四、課程設(shè)計內(nèi)容 ⑴實驗環(huán)境:MATLAB2010 ⑵實驗內(nèi)容:給定的數(shù)據(jù)點

　 0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0

　1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00 1) 用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式; 2) 用 MATLAB 內(nèi)部函數(shù) polyfit 函數(shù)進(jìn)行擬合。

　⑶實驗步驟 1)首先根據(jù)表格中給定的數(shù)據(jù),用 MATLAB 軟件畫出數(shù)據(jù)的散點圖(圖 1)。

　2)觀察散點圖的變化趨勢,近似于二次函數(shù)。則用二次多項式進(jìn)行擬合,取一組基函數(shù) ,并令 ,其中 就是待定系數(shù) 。

　3)用 MATLAB 程序作線性最小二乘法的多項式擬合,求待定系數(shù)。

　算法實現(xiàn)代碼如下: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; R=[(x、^2)" x" ones(7,1)]; A=R\y"

　4) 用 MATLAB 程序計算平均誤差。

　算法實現(xiàn)代碼如下: y1=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=x、^2+x+1; z=(y-y1)、^2; sum(z) 5) 作出擬合曲線與數(shù)據(jù)圖形(圖 2)。

　6) 用MATLAB 的內(nèi)部函數(shù) polyfit 求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差。

　算法實現(xiàn)代碼如下: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式擬合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y)、^2) 7)繪制使用 polyfit 函數(shù)實現(xiàn)的擬合圖形。(圖 3) 五、程序流程圖

　 圖 5-1 用最小二乘法求多項式擬合曲線流程圖

　圖 5-2 用 polyfit 函數(shù)求多項式擬合曲線流程圖 六、實驗結(jié)果 輸入初始數(shù)據(jù)點 根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪制散點圖 分析數(shù)據(jù)點變化趨勢,確定擬合多項式 用最小二乘法求系數(shù)矩陣,確定多項式 用所求的多項式,計算誤差 繪制擬合曲線 輸入初始數(shù)據(jù)點 調(diào)用 polyfit 函數(shù),確定多形式的系數(shù) 調(diào)用 plot 函數(shù)進(jìn)行繪圖 調(diào)用 polyval 函數(shù),進(jìn)行多項式求值

　 圖 6-1 表中數(shù)據(jù)的散點圖

　圖 6-2、 最小二乘法實現(xiàn)的擬合曲線 第 1 問

　系數(shù)為 A =

　1、0000

　1、0000

　1、0000 則多項式的方程為

　平方誤差與為 ans =1、9722e-031

　圖 6-3、 polyfit 函數(shù)實現(xiàn)的擬合函數(shù) 第 2 問 系數(shù)為 A =

　1、0000

　1、0000

　1、0000 則多項式的方程為

　平方誤差與為 ans =

　1、9722e-031

　七、實驗結(jié)果分析 編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項式的過程中,求出的數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)的平方誤差很小,達(dá)到了很高的精度要求,以及通過散點求得的擬合曲線比較

　光滑。而用 MATLAB 的內(nèi)部函數(shù)求 polyfit 求解的曲線擬合多項式與平方誤差與程序求得的相同,還有就就是雖然求解過程簡單了,但用 MATLAB 的內(nèi)部函數(shù)做出的圖形由明顯的尖點,不夠光滑。

　此次實驗數(shù)據(jù)較少,而且數(shù)據(jù)基本都就是可靠數(shù)據(jù)。但就是在應(yīng)用實際問題中,數(shù)據(jù)會很龐雜,此時對于最小為乘法的算法就需要進(jìn)一步的細(xì)化。例如在進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時,由于數(shù)據(jù)采集器(各種傳感器)或機器自身的原因及其外部各種因素的制約,導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會有大幅度的波動,及產(chǎn)生一些偏差極大的數(shù)據(jù),不能真實反映數(shù)據(jù)的可靠性,所以會對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選或修正。而此時就可應(yīng)用曲線擬合的最小二乘法的進(jìn)行處理。

　八、實驗心得體會 在日常的學(xué)習(xí)與生活中,我們可能會遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問題,并不就是所有的數(shù)據(jù)都就是有用,必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?然后找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,然后進(jìn)行分析得出結(jié)果。此次實驗結(jié)果基本沒有大的區(qū)別,可就是MATLAB 提供給我們一個特別簡潔的辦法,應(yīng)用一個函數(shù)即可實現(xiàn)相同的結(jié)果。雖然很方便,但就是對于初學(xué)者來說,我覺得打好基礎(chǔ)才就是關(guān)鍵,對于一個知識點,應(yīng)該掌握其最基本的原理,然后在將它應(yīng)用于實際。

　通過這個實驗我也理解到了,數(shù)值分析就是一個工具學(xué)科,它教給了我們分析與解決數(shù)值計算問題得方法,使我從中得到很多關(guān)于算法的思想,從中受益匪淺。

　附錄:源代碼 散點圖: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; plot(x,y,"r*") title("實驗數(shù)據(jù)點的散點圖"); legend("數(shù)據(jù)點(xi,yi)"); xlable("x"); ylable("y"); 最小二乘擬合:

　x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; R=[(x、^2)" x" ones(7,1)]; A=R\y" x1=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y1=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=x、^2+x+1; plot(x1,y1,"k+",x,y,"r") title("實驗數(shù)據(jù)點的散點圖及擬合曲線"); z=(y-y1)、^2; sum(z) Polyfit 函數(shù)擬合: x=[0 0、5 0、6 0、7 0、8 0、9 1、0]; y=[1 1、75 1、96 2、19 2、44 2、71 3、00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式擬合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y)、^2) plot(x,y,"k+") title("實驗數(shù)據(jù)點的散點圖及擬合曲線"); hold on plot(x,z,"r")

推薦訪問： 擬合 曲線 實驗