信息與計算科學 專業

　 《數學分析》教學大綱

　課程英文名稱 Mathematical Analysis、理論學時 250、實踐學時 0

　一、課程的性質與任務

　教學分析是數學及應用數學專業及信息與計算科學專業的一門重要的基礎課。它為進一步學習微分方程、復變函數、實變函數以及概率論等后繼課程打下一定的基礎。通過本課程的學習有助于學生樹立辯證唯物主義思想和觀點，有助于培養學生嚴密的邏輯思維能力和較強的抽象思維能力。本課程是以極限為工具，研究函數的微分和積分的一門學科，其主要內容包括極限論、一元微積分理論、多元微積分和級數等四大部分。理論學時共 274 學時，分三學期完成：數 《 數學分析 I*》90 學時； 《 數學分析 II*》70 學時； 《 數學分析 III*》90 學時。

　通過本課程的學習，要求學生達到：一、對極限思想和極限方法有深刻的認識，從而樹立辯證唯物主義觀點。二、掌握數學分析的基本知識和基本理論，能熟練地進行基本運算（如求極限、導數、微分和積分等），并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。三、能應用微積分方法解決一定的實際問題。

　二、

　《數學分析 * I* 》課程內容、目的要求學時分配（總學時 90 ）

　（一）函數

　6 6 學時

　1．熟練掌握函數、反函數、復合函數、單調函數、有界函數、奇偶函數與周期函數等概念。

　2．會求函數的定義域。

　3．了解函數的各種表示法，掌握分析（或解析）表示法,特別對分段表示的函數要很好地理解。

　4．熟悉基本初等函數，初等函數。

　（二）極限

　0 30 學時

　1．掌握數列極限、函數極限、無窮小量、無窮大量及確界概念，對極限的否定形式要有所了解。

　2．會用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法處理極限問題。

　3．對下述性質與定理要求能準確地敘述并會證明。

　唯一性、有界性、保號性、收斂定理和海涅定理。

　4．能運用四則運算法則、兩邊夾定理、單調有界數列極限存在定理及兩個重要極限熟練地求極限。

　5．理解無窮小量、無窮大量的概念，并會用無窮小量、無窮大量的性質及等價無窮小處理極限問題。

　（三）連續函數

　0 10 學時

　1．理解點連續、單側連續與區間上連續的定義；理解間斷點及其分類的概念。理解保號性，有界性，四則運算，復合函數的連續性，反函數的連續性。

　No.

　3.22

　2．能準確敘述并會證明閉區間上連續函數的介值性，有界性，最值定理，一致連續定理（一致連續性定理的證明不作要求）。

　3．了解初等函數的連續性。

　（四）實數的連續性

　8 8 學時

　1．熟悉區間套定理，確界概念，確界存在定理，單調有界數列極限存在定理，聚點原理，收斂準則，有限覆蓋定理的條件結論，會證明這些定理。

　2．會用上述定理處理一些相關問題。

　（五）導數與微分

　1 12 2 學時

　（一）目的要求 1．掌握導數（包括單側導數與導函數）的概念，掌握可導與連續的關系。

　2．能熟練地應用導數定義與四則運算，復合函數的導數，反函數的導數，基本公式表，隱函數求導法，參數方程求導法求函數的導數。

　3．會求一些函數的高階導數。

　4．理解微分的定義，微分的幾何意義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式的不變性，會用微分進行近似計算。

　（六）微分學中值定理及 泰 勒公式，導數的應用

　2 24 4 學時 1．能正確敘述并證明費爾馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

　2．會用中值定理解決相關問題。

　3．會求一些簡單函數的泰勒展開式。

　4．能熟練地應用洛畢大法則求不定型的極限。

　), (” “0” 0 “型不證 型 型與????其它形式的不定型轉化成以上兩種形式的不定型 5，了解函數單調性判別法。理解函數單調的充要條件，函數嚴格單調的充要條件，會應用函數的單調性證明不等式。

　6．理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數的極值和最大（小）值。

　7．理解函數的凹凸性，拐點，漸近線的有關概念，會判別函數的凹凸，會求拐點坐標，能應用導數較正確地作出函數的圖像。

　三、

　《數學分析 II* 》課程內容、目的要求學時分配（總學時 70 ）

　（七）不定積分

　6 16 學時

　1．掌握原函數與不定積分的概念，熟記基本積分表，理解線性運算法則。

　2．熟練地掌握換元積分法與分部積分法。

　3．掌握有理函數積分法，三角函數有理式的積分，并會利用它來求一些函數的積分。

　4．掌握一些可化為有理函數的積分。

　（八）定積分

　1 14 4 學時

　1．掌握定積分概念。

　2．可積的必要條件，理解大和與小和及其性質，可積的充要條件。

　3．理解可積的充要條件，并能應用它判斷或證明一些函數的可積性（包括可積函數類）。

　4．定積分的性質。熟悉定積分的線性，有限可加性，單調性，絕對可積性，積分中值定

　理。

　5．理解可變上限的定積分的性質并能熟練的處理相關問題。

　6．能熟練地應用牛頓——萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計算 6 定積分。

　7．了解定積分的近似計算方法。

　（九）定積分的應用

　1 10 0 學時

　1．會用微元法解決幾何物理中的一些問題。

　2．定積分在幾何上的應用。

　掌握平面圖形的面積，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的側面積，曲線的弧長與曲率。

　3．了解定積分在物理上的應用。

　求壓力、功、靜力矩、重心。

　（十）級數

　3 30 0 學時

　（1）

　數項級數 1．掌握無窮級數的收斂、發散、和、絕對收斂及條件收斂等概念。

　2．能掌握收斂級數的性質（包括絕對收斂與條件收斂的性質）。

　3．熟練掌握正項級數的斂散性判別法。

　4．掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，理解任意項級數的狄利克雷、阿貝耳判別法。

　5．了解級數的重排性質（黎曼定理不證明）。

　（2）

　函數項級數 1．理解收斂域、極限函數、和函數和一致收斂等概念。

　2．重點理解優級數判別法、狄利克雷判別法、阿貝耳判別法；

　3．理解函數列的極限函數的連續性、可積性、可微性、函數項級數的和函數的連續性、可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。會用性質處理一些相關問題。

　（3）

　冪級數 1．正確理解冪級數、函數的泰勒級數的概念，了解函數可展成泰勒級數條件。

　2．掌握冪級數的內閉一致收斂性，和函數的連續性，可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。

　3．會求冪級數的收斂半徑與收斂域的求法。

　4．能用冪級數做某些近似計算。

　（4）

　福里哀級數 1．掌握三角函數系的正交性與函數的福里哀級數的概念。

　2．能了解福里哀級數收斂性判別法。

　3．能將一些函數展成福里哀級數（包括只含正弦或余弦的展開）。

　四 、

　《數學分析 III* 》課程內容、目的要求學時分配（總學時 90 ）

　（十一）多元函數及其連續性

　0 10 學時

　（一）目的要求 1．掌握平面點集（鄰域、內點、聚點、界點、邊界、開集、閉集與區域）的一些基本概念，多元函數的極限，累次極限以及連續性等概念。

　2．了解閉區域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理以及多元連續函數的性質。

　（十二）多元函數微分學

　1 15 5 學時

　1．掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數等概念。

　2．掌握全微分、偏導數、連續三者之間的關系。

　3．會求函數的偏導數（包括高階）、全微分、方向導數。

　4．理解極值和最值的概念，掌握極值的必要條件，充分條件，會求多員函數的極值和某些函數的最大（小）值。

　5．了解函數全微分的幾何意義。

　（十三）隱函數

　4 14 學時

　1． 了解隱函數、函數行列式、條件極值的概念。

　2． 能用隱函數存在定理判別隱函數的存在性，會求隱函數的導數或偏導數。

　3．理解條件極值的概念及 Lagrange"s 乘數法。會求多元函數的條件極值。

　4．會求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程。

　（十四）反常積分與含有參變量的積分

　1 15 5 學時

　1．掌握廣義積分（無窮積分、瑕積分）收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念。

　2．能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。

　3．理解含有參變量積分的概念和分析性質，了解 Г-函數、 ? -函數的性質。

　4．能用收斂性判別法判斷一些廣義含參積分的斂散性。

　（十五）重積分

　8 18 學時

　1．理解二重積分與三重積分的概念。

　2．了解二重積分與三重積分的性質。

　3．掌握二重積分化為累次積分的方法，能應用極坐標計算二重積分。能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標、球面坐標計算三重積分。

　4．會求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質量和重心。

　（十六）曲線積分與曲面積分

　8 18 學時

　1．理解第一型曲線積分、第二型曲線積分的定義、性質，掌握第一型曲線積分與第二型曲線積分的計算方法，了解第二型曲線積分與第一型曲線積分的關系；掌握格林公式及曲線積分與路徑無關的等價條件。

　2．理解第一型曲面積分、第二型曲面積分的定義、性質。掌握第一型曲面積分與第二型曲面積分的計算方法，了解第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系；理解奧—高公式,了解斯托克斯公式。

　3．了解場論初步。

　五．本課程是 重慶三峽學院 核心課程

　六 ．課程使用的教材和主要參考書：

　使用教材：劉玉璉，數學分析講義（上、下冊），東北師范大學數學系，高等教育出版社出版。

　主要參考書：

　1、謝惠民等，數學分析講義（上、下冊），蘇州大學數學系，高等教育出版社出版。

　2、陳紀修等，數學分析（上、下冊），復旦大學數學系，高等教育出版社出版。

　3、華東師范大學數學系，數學分析（上、下冊），華東師范大學數學系，高等教育出版社出版。

　4、裴禮文，數學分析典型問題與方法，高等教育出版社出版。

　教學大綱制訂者：

　劉學飛

　 審定者：

　陳小春 數學與計算機科學 學院

　 函數論分析 教研室

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