最優投資組合模型 陳家躍 1

　肖習雨 2

　楊珊珊 3 1．韶關學院 2004 級數學與應用數學 廣東韶關 512005 2．韶關學院 2003 級信息技術(1)班 廣東韶關 512005 3．韶關學院 2004 級信息技術班 廣東韶關 512005

　 摘

　要

　本文通過各種投資回報數據,對各種投資方案的回報效益進行分析,以平均回報期望為回報率,用回報方差來衡量風險,建立了在 VaR(風險價值)約束下的經典馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型，并從幾何角度具體地闡述了此模型的算法,最后根據此算法和借助數學軟件 LINGO、MATLAB 計算出在 VaR=1%,…,10%下的最優投資組合為方案一投資 1421 萬美元,方案二投資 2819.5 萬美元,方案三投資 759.5 萬美元,得到的最大凈收益為 500.00 萬美元,結果令人滿意.

　 關鍵詞:

　馬柯維茨均值-方差模型;VaR 約束;置信水平

　1 問題的提出 某基金會有科學基金 5000 萬美元，現有三種不同的投資方式，分別為政府債券、石化產業股票、信息產業股票，為了保證其基金安全增殖，設計收益最大且安全的投資方案，要求(1)獲得最大的投資回報期望(2)投資的風險限制在一定的范圍。保證該投資方案資金保值概率不低于 95%。

　（假設石化產業的投資回報率變化與信息產業的投資回報率變化彼此獨立）

　三種投資方式分別為：

　投資方式一：

　購買政府債券，收益為 5.6％/年； 投資方式二：

　 投資石化產業股票 根據有關的隨機抽樣調查，得到四十宗投資石化產業股票的案例記錄(如附錄圖表一)； 投資方式三：

　投資信息產業股票 根據有關的隨機抽樣調查，得到四十宗投資信息產業股票的案例記錄(如附錄圖表二)。

　2 模型的假設 2．1

　該基金投資持有期為一年； 2．2

　投資政府債券的風險為零； 2．3

　方案二和方案三中選取的八十只股票具有代表性，能反映總體股市情況； 2．4

　不考慮交易過程中的手續費，即手續費為零； 2．5

　總體投資金額設為單位 1. 3 符號的約定 P ? ：表示證券組合在持有期 t ? 內的損失； iX ：

　表示第 i 種方案的投資權重（投資比例）； c ：

　表示置信水平，反映了投資主體對風險的厭惡程度； 2i? ：

　表示第 i 種方案的投資回報方差；

　iR ：

　表示第 i 種方案的投資回報期望； ijr ：

　表示第 i 種方案里的第 j 只投票回報期望.

　4 問題的分析 此問題是一個投資組合的問題,投資項目包括政府債券和股票兩種,政府債券收益率比較低但風險基本為零,而股票則收益率高但風險也相應高,最終目標是設計出一個投資組合方案使該基金會獲得最大的回報期望和最少的投資風險. 經典的馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型正是解決這種投資組合問題的有效模型,他提出用收益期望來衡量回報率,用收益方差來衡量風險(方差越大,認為風險越大;方差越小,認為風險越小).而后來有不少學者對此模型進行深入研究,并提出了引入 VaR 約束和置信水平下的馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型,這種改進的模型不但繼承了馬柯維茨(Markowitz)均值-方差模型的精髓,而且更實用、準確。VaR 即風險價值(Value at Risk)，是指市場正常波動下，在一定的概率水平下，某一金融資產或證券組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失;置信水平表示投資主體對風險的厭惡程度,置信水平越高對風險的厭惡程度越大；相反，置信水平越高，就越喜歡冒險。

　5 模型的建立 5．1 經典馬柯維茨均值-方差模型：

　????????????????niiniipx t sR1121 . .maxminR XΣX XTT? 其中，TnR R R ) ,..., , (2 1? R ； ) (i ir E R ? 是第 i 種資產的預期回報率；Tnx x x ) ,..., , (2 1? X 是投資組合的權重向量；n n ij ? ? ?) ( ? 是 n 種資產間的協方差矩陣；???31 ii pR R 和2p? 分別是投資組合的期望回報率和回報率的方差。該模型的解在p pR ? ? 空間是拋物線，即投資組合的有效前沿。

　5．2

　風險價值的確定：

　VaR 為風險價值，設資產組合的初始價值為 W ，持有期末的期望收益為 R ， R 的數

　學期望和標準差分別為 ? 和 ? ，在給定的置信水平 c 下，期末資產組合的最低值為) 1 (? ?? ? R W W ，其中?R 為相應的最低收益率(一般為負值)，則：

　) ( ) ( )

　 (* *? ? ? ? ? ? R W W W E Risk at Value VaR

　(1) 又由 cR RP R R P ? ????? ???1 ) ( ) (????，可知：

　?? ? ???? ? ? ????RR

　 (2) 將(2)式代入(1)式可得：

　W W W W E VaR ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??) ( ) ( 。

　另外 VaR 的求解方法還可用歷史模擬法以及蒙特卡洛模擬法求得.

　5．3

　加入 VaR 約束后的馬柯維茨均值-方差模型：

　假定置信水平為 c ，由 VaR 的定義，有：

　c VaR r obp? ? ? ? 1 ) ( Pr

　（3）

　在經典馬柯維茨均值-方差模型中加入 VaR 約束后，模型變為：

　??????????? ? ? ?????niippPxc VaR r ob t sr E1211 ) ( Pr . .) ( maxminR XΣX XTT? 在正態分布下，（1）式可化為：

　) ) ( ) ( (1p pc r E VaR ??? ? ? ?

　(4)

　 其中，) (? ?是標準正態分布的分布函數。

　 VaR 約束 pR

　p?-VaR A B 圖 1

　基于 VaR 約束的投資組合的有效前沿 O

　此模型的解在p pR ? ? 空間中是圖 1 中的弧線 AB ，稱其為基于 VaR 約束下的投資組合的有效前沿。

　圖 1 中 VaR 約束表現為一條斜率為 ) (1c?? 、截距為-VaR 的直線。在該直線或其以上的全部投資組合都具有 c 的概率使其回報率超過最小值-VaR；而在直線以下的全部投資組合回報率在置信度 c 下不超過-VaR。這樣，VaR 約束使投資組合選擇僅僅限制在傳統有效前沿和 VaR 約束直線間的陰影部分，即點 A 和 B 之間的弧線 AB 上。進一步地，根據有效集定理，最優投資組合選擇應為拋物線頂點 O 與點 A 之間的弧線，即弧線段 OA。

　5．4

　加入 VaR 約束后的馬柯維茨均值-方差模型的幾何解法：

　由圖 1 可知，VaR 約束的最優投資組合確定時，只需求出點 A 和 O 處的權重即可。但由于該模型的約束條件比較復雜，用傳統的 Laganerge 乘子法無法求解。因此在這里我們用幾何方法來解決此問題。

　設 n 種資產組合的權重是n nx x x x , ,..., ,1 2 1 ?（其中1 2 1... 1?? ? ? ? ?n nx x x x ），則投資組合的期望回報率 ) (p pr E R ? 與方差2p? 分別可表示為：

　n n n n pR x x R x R x R x R ) ... 1 ( ...1 1 1 1 2 2 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

　 (5) n n n nn n n nnn n n n n px x xx x x x x x xx x x x x, 1 1 1 11 1 1 1 1 , 1 1 1 12 2 121 1 1 , 121 2222 11212) ... 1 ( 2 ...) ... 1 ( 2 2 ... 2) ... 1 ( ...? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ?

　 (6) 因為協方差矩陣 Σ 是正定矩陣，所以在權重空間 ) ,..., , (1 2 1 ? nx x x 中，(4)式代表等方差超橢球面。2p? 取不同值可得到一族同心超橢球面，中心記為 MVP ，表示所有的可能投資組合中風險最小的投資組合的權數；在權重空間 ) ,..., , (1 2 1 ? nx x x 中，(3)式代表等期望回報率超平面，pR 取不同值可得到一族平行超平面。因而， n 種資產投資組合的最優權重應為等期望回報率超平面與等方差超橢球面的正切點。將這些正切點連接起來，就得到一條直線，稱其為 n 種資產投資組合的臨界線。不難看出，臨界線實際上就是圖 1中的有效前沿在權重空間中的表現形式。

　(5)式在點 ) ,..., , (1 2 1 ? nx x x 處的法向量為：

　) , ... , , (1 2 1 n n n nR R R R R R ? ? ??. (6)式在點 ) ,..., , (1 2 1 ? nx x x 處的法向量為：

　) ) 2 (... ) ( ... ) (......,,) ( ... ) 2 ( ... ) (......,,) ( ... ) ( ... ) 2 ((, 1 1 , 1 1 , 1, 1 1 , 1 , 1 1 1 , 11 , 1 1 , 1 1 111 , 1 1 1 , 1 1 1 1 1 11nn n n n n n nn n nk n n kn nn n k n n n nn nnn knn n n kn nn n k k kn nn kk kn n nn knn nn n n n nn n k kn n nn k n nnxx xx x xx x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?

　令

　], 1 , 1 , 0 ,..., 0 , 0 , 0 [......,], 1 , 0 , 0 ,..., 0 , 1 , 0 [], 1 , 0 , 0 ,..., 0 , 0 , 1 [? ?? ?? ??1 n21PPP

　 ,1 1 ... 1 10 1 ... 0 00 0 ... 1 00 0 ... 0 1????????????????? ? ?? ? ? ? ? Q

　 ??????????????????1121nxxx? W

　則(4)式在點 ) ,..., , (1 2 1 ? nx x x 處的法向量可簡化為：

　) (T1 nTkT2T1QW P , ... , QW P , ... , QW P , QW P ? ? ? ?? 由臨界線定義，可得臨界線方程為 n n n kkn nR R R R R R R R ??? ???? ????????1 2 1... ...T1 nT T2T1QW P QW P QW P QW P

　 (7) 由(5)式可得到 2 ? n 個方程構成的線性方程組：

　???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?2 1 1 , , 2 2 2 , 2 1 1 , 22 1 1 , 2 2 22 1 211 1 1 , 1 2 12 1 11n n n n n nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a?? ???

　(8) 其中：

　n nn n jn nn n jn ijn in nn ijijR R R Ra?? ? ???? ? ???? ?1, 1 1 ,? ? ? ? ? ? ? ? n nnn n nn inn iniR R R Rb????????1, 1? ? ? ?，

　. 1 , , 2 , 1 , 2 , , 2 , 1 ? ? ? ? n j n i ? ? 進一步將(2)式化為如下形式：

　2112) () (??????????????????cVaR Rniip?

　(9) 根據均值和方差的表達式：

　???niTiR X R1， X XT ????312ii? ，將其代入上式：

　? ?212) () (????????? ??cVaR R XX XTT

　(10) 因為線性方程組(6)的秩是2 ? n，所以它的基礎解系的個數是 1，我們可以用1x分別表示1 3 2. , ,? nx x x ? 。而由于11???niix，nx 也可以用1x 表示。將nx x x . , ,3 2? 代入(8)式，就得到一個關于1x 的一元二次方程，求出1x 就可得到相應nx x x ,. , ,3 2? 的值。因為1x 有兩個根，因此有兩組解，它們分別是點 A 和點 B 處的權重。這樣就求出了點 A 和點 B 處投資組合的預期回報率AR ，BR 和方差2A? ，2B? 。

　進一步地，根據方程2? ? ?X X T ，我們可求出拋物線頂點 O 處的投資權重。該方程是常數項包含2? 的關于1x 一元二次方程，當其判別式為零時只有一個解，此時Ax 1 與Bx 1重合為Ox 1 。利用判別式為零求出2? 后，便可分別求出 O 點的投資權重及投資回報率OR 。

　于是可以得到 VaR 約束下投資組合的選擇范圍：

　Anii OR R R ? ? ??1，2312 2Aii O? ? ? ? ? ??。

　針對這一范圍內投資組合的一個回報率PR ，聯立(8)式和(5)式，就可在臨界線上求得投資組合最優權重，該權重下的投資組合的方差為最小，并通過(6)式可算出這個最小方差；同理，給定了上述范圍內投資組合的一個方差2p? ，聯立(8)式和(6)式，就可在臨界線上求得投資組合的最優權重，使得該權重下的投資組合的預期回報率最高，并且由(5)式可算出這個最高的預期回報率。

　5．5 協方差的求解：

　設 ) , ( Y X 是二維隨機變量，若 ) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E ? ? 小于無窮大，則稱

　) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E ? ? 為 X 與 Y 的協方差，記為 ) , ( Y X Cov .

　即：

　) )) ( ))( ( ( ( ) , ( Y E Y X E X E Y X Cov ? ? ?

　計算式：

　) ( ) ( ) ( ) , ( Y E X E XY E Y X Cov ? ?

　當 Y X, 相互獨立時，有 ) )) ( ))( ( ( ( Y E Y X E X E ? ? ＝0 由此可知，如不等于 0，則它們肯定不獨立。

　6 模型的求解 由于投資方案二和投資方案三給出的各四十只股票都是隨機抽樣得來的,據概率論中的大數定理，能基本反映該類股票的收益和風險，然后用數學軟件 MATLAB 可以求出三種投資方案的回報率期望、回報率方差和協方差矩陣，得下表：

　方案一,方案二和方案三的回報率,風險數據及協方差矩陣

　回報率均值iR (%) 回報率方差2i? (%) 協協方差矩陣 方案一 5.6 0 ??????????240 . 0 0 00 024 . 0 00 0 0 方案二 9.9 1.71 方案三 18.6 22.23

　?????????????? ? ? ? ??? ?? ? ?????????3 , 2 1 ) ( Pr1* 240 . 0 * 024 . 0 min186 . 0 * 099 . 0 * 6 . 05 . 0 * max4013123223123 2 131i c VaR r obXX XX X X Rjijiiiiii?

　由公式21312) () (??????????????????cVaR Riip? (其中) (c ?為標準正態分布函數ecx2221) (?? ??，

　則 c c ln 2 ln ) (1? ? ? ? ? ? ，而 VaR 和 c 都是一個未定值) 和1 2 12 1 11* * b X a X a ? ?

　其中: 113 . 62377 . 23896 . 93 233 233 133 1313 223 23 33 223 123 13 33 12123 223 13 33 123 113 13 33 1111? ???????? ??? ? ???? ? ??? ??? ? ???? ? ??R R••R R••bR R• • • •R R• • • •aR R• • • •R R• • • •a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 當給定 VaR 值和 c 值時就能得到最優值。

　由題意可知 c=95% 運用數學軟件 LINGO 和 MATLAB 求解得下表:

　VaR(%) 1X

　2X

　3X

　方差2i? (%) 凈收益(萬美元) 1 1 0 0 0 280.00 2 1 0 0 0 280.00 3 1 0 0 0 280.00 4 1 0 0 0 280.00 5 1 0 0 0 280.00 6 0.9370 0.0482 0.0148 0.01 300.00 7 0.7794 0.1688 0.0519 0.13 350.00 8 0.6218 0.2893 0.0889 0.39 400.00 9 0.4642 0.4098 0.1260 0.78 450.00 10 0.2842 0.5639 0.1519 1.32 500.00

　又由計算可得當VaR>0.1時沒最優解,故最優的的投資組合為方案一投資1421萬美元,方案二投資2819.5萬美元,方案三投資759.5萬美元,最大凈收益為500.00萬美元. 參考文獻: [1] 姜啟源等,數學模型[M],北京：高等教育出版社，2004。

　[2] 李強等,Maple 基礎應用教程[M],北京：中國水利水電出版社,2004。

　[3] 宋兆基等，MATLAB6.5 在科學計算中的應用[M]，北京：清華大學出版社，2005。

　[4] 謝金星 薛毅編著,優化建模與 LINDO/LINGO 軟件[M]：清華大學出版社.2005。

　[5]邵欣煒，基于 VaR 的證券投資組合優化方法， les/Attach/1883/2005/03/22/1134279531.doc，2006 年 8 月 25 日。

　 附錄 石化產業股票的案例記錄: 案例編號 投資量（萬）

　回報（萬）

　企業編號 投資量（萬）

　回報（萬）

　1 2000 250 21 1290 270

　2 5000 350 22 1720 -129 3 1500 -200 23 2980 -120 4 2500 1000 24 4600 310 5 4500 240 25 5100 620 6 1800 -180 26 7200 740 7 5200 290 27 4900 200 8 2500 150 28 3200 -310 9 3400 500 29 5000 -620 10 4000 1000 30 4900 620 11 8000 80 31 5700 -292 12 7500 1000 32 4900 270 13 4600 120 33 3100 2010 14 4300 290 34 4930 278 15 1200 420 35 6700 810 16 2600 510 36 7800 620 17 3100 1020 37 9100 720 18 2010 -230 38 4100 120 19 1020 120 39 3900 240 20 3100 1020 40 2300 410

　 (表一) 信息產業股票的案例記錄: 企業編號 投資量（萬）

　回報（萬）

　企業編號 投資量（萬）

　回報（萬）

　1 2500 700 21 6010 230 2 7100 2100 22 3740 1020 3 1400 970 23 6350 3100 4 3100 -210 24 7240 9400 5 1800 -1500 25 3100 580 6 2500 2300 26 5170 -2100 7 2700 210 27 3410 -2000 8 5600 1500 28 8210 420 9 3010 -2800 29 6830 5400 10 7200 8100 30 5260 1020 11 1300 510 31 2570 1200 12 2900 350 32 6450 4210 13 3400 130 33 6175 -720 14 6700 1750 34 6310 5100 15 3600 1400 35 3852 -3630 16 6050 2410 36 7980 230 17 6700 210 37 6340 -540 18 5300 710 38 5780 1750 19 4790 20 39 5250 2030 20 6800 -1700 40 2770 780

　 (表二)

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