精選 試題

　 二次函數考察重點與常見題型( 學生用)

　編

　制 ：

　 審

　核：

　出

　版 ：

　出版單位：

　編制日期：二 O O 二 二 O O 年六月

　二次函數考查重點與常見題型

　1 ． 考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：

　已知以 x 為自變量的二次函數 2 ) 2 (2 2? ? ? ? ? m m x m y 的圖像經過原點， 則 m 的值是

　2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

　如圖，如果函數 b kx y ? ? 的圖像在第一、二、三象限內，那么函數 12? ? ? bx kx y 的圖像大致是（

　 ）

　 y

　 y

　 y

　 y

　 1

　1

　 0

　x

　o-1

　x

　0

　x

　0 -1

　x

　A

　 B

　 C

　 D

　3． 考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

　已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為35? x ，求這條拋物線的解析式。

　4． 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

　已知拋物線2y ax bx c ? ? ? （a≠0）與 x 軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與 y軸交點的縱坐標是－ 32

　 （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

　5 ．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

　【例題經典】

　【由拋物線的位置確定 系數的符號】

　例 1 （1）二次函數2y ax bx c ? ? ? 的圖像如圖 1，則點 ) , (acb M 在（

　）

　A．第一象限

　B．第二象限

　 C．第三象限

　 D．第四象限

　（2）已知二次函數 y=ax 2 +bx+c（a≠0）的圖象如圖 2 所示，•則下列結論：①a、b 同號；②當 x=1 和 x=3 時，函數值相等；③4a+b=0；④當 y=-2 時，x 的值只能取 0.其中正確的個數是（

　）

　A．1 個

　B．2 個

　C．3 個

　D．4 個

　 (1)

　 (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數 a，b，c 之間的關系，是解決問題的關鍵． 例 2.已知二次函數 y=ax 2 +bx+c 的圖象與 x 軸交于點(-2，O)、(x 1 ，0)，且 1<x 1 <2，與 y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方．下列結論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正確結論的個數為(

　)

　 A 1 個

　B. 2 個

　C. 3 個

　D．4 個

　 【會用待定系數法求二次函數解析式】

　例 3.已知：關于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=3 的一個根為 x=-2，且二次函數 y=ax 2 +bx+c的對稱軸是直線 x=2，則拋物線的頂點坐標為(

　)

　 A(2，-3)

　B.(2，1)

　C(2，3)

　D．(3，2)

　例 4、（2006 年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形 ABC以 2米/秒的速度沿直線 L向正方形移動，直到 AB 與 CD重合．設 x 秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為 ym 2 ． （1）寫出 y與 x 的關系式； （2）當 x=2，時，y分別是多少 （3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間求拋物線頂點坐標、 對稱軸.

　 例 5、已知拋物線 y=12x 2 +x-52． （1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸． （2）若該拋物線與 x 軸的兩個交點為 A、B，求線段 AB 的長．

　 【點評】本題（1）是對二次函數的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數與一元二次方程的關系．

　例 6.已知：二次函數 y=ax 2 -(b+1)x-3a的圖象經過點 P(4，10)，交 x 軸于 ) 0 , (1x A ， ) 0 , (2x B兩點 ) (2 1x x ? ，交 y軸負半軸于 C 點，且滿足 3AO=OB． (1)求二次函數的解析式；(2)在二次函數的圖象上是否存在點 M，使銳角∠MCO>∠ACO若存在，請你求出 M 點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由．

　例 7、 “已知函數 c bx x y ? ? ?221的圖象經過點 A（c，－2），

　 求證：這個二次函數圖象的對稱軸是 x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。

　（1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。

　（2）請你根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。

　點評：

　對于第（1）小題，要根據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸是 x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點 A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。

　 【用二次函數解決最值問題】

　例 1 已知邊長為 4 的正方形截去一個角后成為五邊形 ABCDE（如圖），其中 AF=2，BF=1．試

　在 AB 上求一點 P，使矩形 PNDM 有最大面積．

　【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函數的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間．

　例 2

　某產品每件成本 10元，試銷階段每件產品的銷售價 x（元）•與產品的日銷售量 y（件）之間的關系如下表：

　x（元）

　15 20 30 … y（件）

　25 20 10 …

　 若日銷售量 y是銷售價 x 的一次函數．

　 （1）求出日銷售量 y（件）與銷售價 x（元）的函數關系式；

　 （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元•此時每日銷售利潤是多少元

　 【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，•“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）•問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

　例 3.你知道嗎平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為 4 m，距地面均為 1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是 1．5 m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示) (

　) A．1．5 m

　B．1．625 m

　 C．1．66 m

　 D．1．67 m 分析：本題考查二次函數的應用

推薦訪問： 題型 函數 考察