弦振動(dòng)得研究

　一 、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

　 1、觀察固定均勻弦振動(dòng)共振干涉形成駐波時(shí)得波形,加深駐波得認(rèn)識(shí)。

　2、了解固定弦振動(dòng)固有頻率與弦線得線密ρ、弦長(zhǎng) L 與弦得張力Τ得關(guān)系,并進(jìn)行測(cè)量。

　二、 實(shí)驗(yàn)儀器

　 弦線,電子天平,滑輪及支架,砝碼,電振音叉,米尺

　三 、 實(shí)驗(yàn) 原理

　為了研究問題得方便,認(rèn)為波動(dòng)就是從A 點(diǎn)發(fā)出得,沿弦線朝Ｂ端方向傳播,稱為入射波,再由Ｂ端反射沿弦線朝Ａ端傳播,稱為反射波。入射波與反射波在同一條弦線上沿相反方向傳播時(shí)將相互干涉,移動(dòng)劈尖Ｂ到適合位置.弦線上得波就形成駐波。這時(shí),弦線上得波被分成幾段形成波節(jié)與波腹。駐波形成如圖(2)所示。

　設(shè)圖中得兩列波就是沿 X 軸相向方向傳播得振幅相等、頻率相同振動(dòng)方向一致得簡(jiǎn)諧波。向右傳播得用細(xì)實(shí)線表示,向左傳播得用細(xì)虛線表示,它們得合成駐波用粗實(shí)線表示。由圖可見,兩個(gè)波腹間得距離都就是等于半個(gè)波長(zhǎng),這可從波動(dòng)方程推導(dǎo)出來。

　下面用簡(jiǎn)諧波表達(dá)式對(duì)駐波進(jìn)行定量描述。設(shè)沿 X 軸正方向傳播得波為入射波,沿 X 軸負(fù)方向傳播得波為反射波,取它們振動(dòng)位相始終相同得點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn) “O”,且在 X＝0 處,振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向上達(dá)最大位移時(shí)開始計(jì)時(shí),則它們得波動(dòng)方程分別為: 圖(2)

　Y 1 ＝Acos2?(ft－x/ ?) Y 2 ＝Acos[2? (ft＋x/λ)+ ?]式中A為簡(jiǎn)諧波得振幅,f為頻率,?為波長(zhǎng),X為弦線上質(zhì)點(diǎn)得坐標(biāo)位置。兩波疊加后得合成波為駐波,其方程為: Y 1

　＋Y 2 ＝2Acos[2?(x/ ?)+?/2]Acos2?ft

　① 由此可見,入射波與反射波合成后,弦上各點(diǎn)都在以同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng),它們得振幅為｜2A cos[2?(x/ ?)+?/2] |,與時(shí)間無關(guān) t,只與質(zhì)點(diǎn)得位置 x 有關(guān)。

　由于波節(jié)處振幅為零,即:｜c(diǎn)os[2?(x/ ?)+?/2] |＝0 2?(x/ ?)+?/2＝(2k+1) ? / 2

　 ( k=0、 2、 3、 … )

　可得波節(jié)得位置為:

　x＝k? /2

　② 而相鄰兩波節(jié)之間得距離為: x k ＋ 1 －x k ＝(k＋1)?/2－k? / 2＝? / 2

　 ③ 又因?yàn)椴ǜ固幍觅|(zhì)點(diǎn)振幅為最大,即

　｜c(diǎn)os[2?(x/ ?)+?/2] |

　=1 2?(x/ ?)+?/2 ＝k?

　 ( k=0、 1、 2、 3、 ? ?)

　 可得波腹得位置為:

　x＝(2k-1)?/4

　 ④ 這樣相鄰得波腹間得距離也就是半個(gè)波長(zhǎng)。因此,在駐波實(shí)驗(yàn)中,只要測(cè)得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹間得距離,就能確定該波得波長(zhǎng)。

　在本實(shí)驗(yàn)中,由于固定弦得兩端就是由劈尖支撐得,故兩端點(diǎn)稱為波節(jié),所以,只有當(dāng)弦線得兩個(gè)固定端之間得距離(弦長(zhǎng))等于半波長(zhǎng)得整數(shù)倍時(shí),才能形成駐波,這就就是均勻弦振動(dòng)產(chǎn)生駐波得條件,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為: L＝n? / 2

　 ( n=1、 2、 3、 … ) 由此可得沿弦線傳播得橫波波長(zhǎng)為:

　 ?＝2L / n

　⑤ 式中 n 為弦線上駐波得段數(shù),即半波數(shù)。

　根據(jù)波速、頻率及波長(zhǎng)得普遍關(guān)系式:V＝?f,將⑤式代入可得弦線上橫波得傳播速度: V＝2Lf/n

　 ⑥

　另一方面,根據(jù)波動(dòng)理論,弦線上橫波得傳播速度為: V＝(T/ρ) 1/2

　⑦ 式中 T 為弦線中得張力,ρ 為弦線單位長(zhǎng)度得質(zhì)量,即線密度。

　再由⑥⑦式可得

　 f =(T/ρ) 1/2 (n/2L) 得

　 T＝ρ / (n/2Lf ) 2

　即

　ρ＝T (n/2Lf ) 2

　 ( n=1、 2、 3、 … )

　⑧ 由⑧式可知,當(dāng)給定 T、ρ、L,頻率 f 只有滿足以上公式關(guān)系,且積儲(chǔ)相應(yīng)能量時(shí)才能在弦線上有駐波形成。

　四、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

　1、測(cè)定弦線得線密度:用米尺測(cè)量弦線長(zhǎng)度,用電子天平測(cè)量弦線質(zhì)量,記錄數(shù)據(jù) 2、測(cè)定 11 個(gè)砝碼得質(zhì)量,記錄數(shù)據(jù) 3、組裝儀器

　4、調(diào)節(jié)電振音叉頻率,弦線長(zhǎng)度與砝碼數(shù)量得到多段駐波,用米尺測(cè)量駐波長(zhǎng)度,記錄頻率,砝碼質(zhì)量,波數(shù),波長(zhǎng)。(靠近振動(dòng)端得第一個(gè)駐波不完整,要從第二個(gè)駐波開始測(cè)量波長(zhǎng)) 五 、 數(shù)據(jù) 記錄 及處理

　1、弦線密度測(cè)定 弦線總長(zhǎng):2、00m

　總質(zhì)量:0、383g

　σ=0、383/2、00=0、1915

　g/m 2、砝碼質(zhì)量測(cè)定:

　 蘭州 g=9、793m/s2 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 質(zhì)量/g 10、015 10、016 9 、988 10、020 10、009 10、000 10、013 10、006 10、018 10、018 4 、997

　 lgT/N -1、309 -1、309 -1、309 -1、009 -1、009 -0、708 -0、465 -0、009 lgv/m/s -0、296 -0、296 -0、296 -0、146 -0、146 0、005 0、126 0、354 波數(shù) 波長(zhǎng) L/cm 張力 T/N 頻率 f/Hz 砝碼 m/g 9 17、30 0、049 45、04 4、997 8 17、38 0、049 48、17 4、997 7 16、13 0、049 49、26 4、997 6 20、31 0、098 43、70 10、015 5 23、16 0、098 16、51 10、015 4 30、60 0、196 53、21 20、031 3 41、44 0、343 54、81 35、022 2 69、50 0、980 50、00 100、093 T/N 0、049 0、049 0、049 0、098 0、098 0、196 0、343 0、980 v/m/s 0、506 0、506 0、506 0、715 0、715 1、012 1、338 2.262

　 六 、 實(shí)驗(yàn)分析

　本實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合經(jīng)驗(yàn)公式,但還存在誤差,分析有以下原因: :

　1、未等掛在弦線上得砝碼穩(wěn)定就開始測(cè)量。

　2、未等形成得駐波穩(wěn)定就開始記錄數(shù)據(jù)。

　3、用米尺測(cè)量時(shí)讀數(shù)不夠精確。

　七、 實(shí)驗(yàn)問題 1、、如果要確定 v 與σ得關(guān)系,實(shí)驗(yàn)應(yīng)如何安排? 答:應(yīng)準(zhǔn)備材質(zhì)不同得弦線,在頻率 f 與張力 T 一定得情況下,出現(xiàn)不同數(shù)量得駐波,測(cè)量對(duì)應(yīng)波長(zhǎng) L,V=2Lf,作出σ—V 圖像。σ作為 V 得冪函數(shù)令σ=AV ,兩邊取對(duì)數(shù)得 lgσ=lgA+BlgV 作 lgσ—lgV 圖像求 A,B、若 B=V,A=T 則公式推導(dǎo)正確。

　2、弦振動(dòng)時(shí),使 N(波數(shù))為偶數(shù),將音叉轉(zhuǎn) 90°后,觀察現(xiàn)象,并說明原因。

　答:旋轉(zhuǎn)音叉 90°波數(shù)變?yōu)?N/2。原因就是音叉帶動(dòng)得弦線由原來得左右擺動(dòng)變成了前后擺動(dòng),形成得都就是橫波,原來左右振動(dòng)一個(gè)周期形成兩個(gè)波,旋轉(zhuǎn) 90°之后前后振動(dòng)一個(gè)周期只形成了一個(gè)波,此時(shí),電振音叉得振動(dòng)頻率不變,但就是弦線得振動(dòng)頻率變?yōu)榱嗽瓉淼靡话?所以波數(shù)減半。

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